Definition von Vektorräumen
DEFINITION
Sei \((\mathbb{K},+_\mathbb{K},\cdot_\mathbb{K}) \) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239]
Ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum (oder ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\)) ist eine Menge \(V\) zusammen mit zwei Abbildungen \(+,\cdot\) genannt Vektoraddition und Skalarmultiplikation
\(+ \, : \, V \times V \to V \)
\(\qquad (v,w) \mapsto +(v,w) =: v+w \)
\(\cdot \, : \, \mathbb{K} \times V \to V\)
\(\qquad\, (\lambda,v) \mapsto \cdot(\lambda,v) =: \lambda \cdot v \)
so dass folgende Regeln erfüllt sind:
(V1) \((V,+)\) ist eine [could not resolve link target: il_9310_git_1124] . Ihr [could not resolve link target: il_9310_git_1240] \(0 \in V\) heißt Nullvektor und das zu einem \(v \in V \) [could not resolve link target: il_9310_git_1241] wird mit \(-v\) bezeichnet.
(V2) \(\forall v,w \in V , \, \lambda, \mu \in \mathbb{K}: \)
a) \((\lambda +_\mathbb{K} \mu)\cdot v = (\lambda \cdot v) + (\mu \cdot v) \) (Distributivität von \(+_\mathbb{K}\) bezüglich \(\cdot \))
b) \(\lambda \cdot (v+w) = (\lambda \cdot v) + (\lambda \cdot w) \) (Distributivität von \(+\) bezüglich \(\cdot \))
c) \((\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu) \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v)\) (Verträglichkeit von \(\cdot_\mathbb{K}\) und \(\cdot\))
d) \(1 \cdot v = v\) (\(1 \in K\))
Bemerkungen: Elemente aus \(V\) heißen Vektoren, Elemente aus \(\mathbb{K}\) Skalare. Um die Notation zu erleichtern werden bei Abwesenheit von Klammern Multiplikationen (\(\cdot_\mathbb{K},\cdot\)) vor Additionen (\(+_\mathbb{K},+\)) ausgeführt. Regel (V2) c) garantiert dabei, dass ein gemischter Ausdruck mit \(\cdot_\mathbb{K}\) und \(\cdot\) wohldefiniert ist. Ferner werden die Indizes in \(+_\mathbb{K}\) und \(\cdot_\mathbb{K}\) weggelassen, da es sich aus dem Kontext ergibt, welche Verknüpfung gemeint ist. Die Zeichen für die Multiplikationen werden auch oft gänzlich weggelassen.
Mit \(\lambda,\mu \in \mathbb{K}\) und \(v,w \in V \) ist der Ausdruck
\(\lambda \mu v + w\) zu lesen als \(((\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu)\cdot v) + w \) bzw. \((\lambda \cdot (\mu \cdot v)) + w \).
Ein \(K\)-Vektorraum mit zugrundeliegender Menge \(V\) Verktoraddition \(+\) und Skalarmultiplikation \(\cdot\) wird mit \((V,+,\cdot)\) (oder oft nur \(V\)) bezeichnet.
Warnung: Der Begriff "Skalarmultiplikation" ist nicht zu verwechseln mit dem des "Skalarproduktes"!
Sei \((\mathbb{K},+_\mathbb{K},\cdot_\mathbb{K}) \) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239]
Ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum (oder ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\)) ist eine Menge \(V\) zusammen mit zwei Abbildungen \(+,\cdot\) genannt Vektoraddition und Skalarmultiplikation
\(+ \, : \, V \times V \to V \)
\(\qquad (v,w) \mapsto +(v,w) =: v+w \)
\(\cdot \, : \, \mathbb{K} \times V \to V\)
\(\qquad\, (\lambda,v) \mapsto \cdot(\lambda,v) =: \lambda \cdot v \)
so dass folgende Regeln erfüllt sind:
(V1) \((V,+)\) ist eine [could not resolve link target: il_9310_git_1124] . Ihr [could not resolve link target: il_9310_git_1240] \(0 \in V\) heißt Nullvektor und das zu einem \(v \in V \) [could not resolve link target: il_9310_git_1241] wird mit \(-v\) bezeichnet.
(V2) \(\forall v,w \in V , \, \lambda, \mu \in \mathbb{K}: \)
a) \((\lambda +_\mathbb{K} \mu)\cdot v = (\lambda \cdot v) + (\mu \cdot v) \) (Distributivität von \(+_\mathbb{K}\) bezüglich \(\cdot \))
b) \(\lambda \cdot (v+w) = (\lambda \cdot v) + (\lambda \cdot w) \) (Distributivität von \(+\) bezüglich \(\cdot \))
c) \((\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu) \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v)\) (Verträglichkeit von \(\cdot_\mathbb{K}\) und \(\cdot\))
d) \(1 \cdot v = v\) (\(1 \in K\))
Bemerkungen: Elemente aus \(V\) heißen Vektoren, Elemente aus \(\mathbb{K}\) Skalare. Um die Notation zu erleichtern werden bei Abwesenheit von Klammern Multiplikationen (\(\cdot_\mathbb{K},\cdot\)) vor Additionen (\(+_\mathbb{K},+\)) ausgeführt. Regel (V2) c) garantiert dabei, dass ein gemischter Ausdruck mit \(\cdot_\mathbb{K}\) und \(\cdot\) wohldefiniert ist. Ferner werden die Indizes in \(+_\mathbb{K}\) und \(\cdot_\mathbb{K}\) weggelassen, da es sich aus dem Kontext ergibt, welche Verknüpfung gemeint ist. Die Zeichen für die Multiplikationen werden auch oft gänzlich weggelassen.
Mit \(\lambda,\mu \in \mathbb{K}\) und \(v,w \in V \) ist der Ausdruck
\(\lambda \mu v + w\) zu lesen als \(((\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu)\cdot v) + w \) bzw. \((\lambda \cdot (\mu \cdot v)) + w \).
Ein \(K\)-Vektorraum mit zugrundeliegender Menge \(V\) Verktoraddition \(+\) und Skalarmultiplikation \(\cdot\) wird mit \((V,+,\cdot)\) (oder oft nur \(V\)) bezeichnet.
Warnung: Der Begriff "Skalarmultiplikation" ist nicht zu verwechseln mit dem des "Skalarproduktes"!