DEFINITION


Sei $(\mathbb{K},+_\mathbb{K},\cdot_\mathbb{K})$ ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239]
Ein $\mathbb{K}$-Vektorraum (oder ein Vektorraum über $\mathbb{K}$) ist eine Menge $V$ zusammen mit zwei Abbildungen $+,\cdot$ genannt Vektoraddition und Skalarmultiplikation
$+ \, : \, V \times V \to V$
$\qquad (v,w) \mapsto +(v,w) =: v+w$
$\cdot \, : \, \mathbb{K} \times V \to V$
$\qquad\, (\lambda,v) \mapsto \cdot(\lambda,v) =: \lambda \cdot v$
so dass folgende Regeln erfüllt sind:

(V1) $(V,+)$ ist eine [could not resolve link target: il_9310_git_1124] . Ihr [could not resolve link target: il_9310_git_1240] $0 \in V$ heißt Nullvektor und das zu einem $v \in V$ [could not resolve link target: il_9310_git_1241] wird mit $-v$ bezeichnet.

(V2) $\forall v,w \in V , \, \lambda, \mu \in \mathbb{K}:$
a) $(\lambda +_\mathbb{K} \mu)\cdot v = (\lambda \cdot v) + (\mu \cdot v)$ (Distributivität von $+_\mathbb{K}$ bezüglich $\cdot$)
b) $\lambda \cdot (v+w) = (\lambda \cdot v) + (\lambda \cdot w)$ (Distributivität von $+$ bezüglich $\cdot$)
c) $(\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu) \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v)$ (Verträglichkeit von $\cdot_\mathbb{K}$ und $\cdot$)
d) $1 \cdot v = v$ ($1 \in K$)

Bemerkungen: Elemente aus $V$ heißen Vektoren, Elemente aus $\mathbb{K}$ Skalare. Um die Notation zu erleichtern werden bei Abwesenheit von Klammern Multiplikationen ($\cdot_\mathbb{K},\cdot$) vor Additionen ($+_\mathbb{K},+$) ausgeführt. Regel (V2) c) garantiert dabei, dass ein gemischter Ausdruck mit $\cdot_\mathbb{K}$ und $\cdot$ wohldefiniert ist. Ferner werden die Indizes in $+_\mathbb{K}$ und $\cdot_\mathbb{K}$ weggelassen, da es sich aus dem Kontext ergibt, welche Verknüpfung gemeint ist. Die Zeichen für die Multiplikationen werden auch oft gänzlich weggelassen.
Mit $\lambda,\mu \in \mathbb{K}$ und $v,w \in V$ ist der Ausdruck
$\lambda \mu v + w$ zu lesen als $((\lambda \cdot_\mathbb{K} \mu)\cdot v) + w$ bzw. $(\lambda \cdot (\mu \cdot v)) + w$.

Ein $K$-Vektorraum mit zugrundeliegender Menge $V$ Verktoraddition $+$ und Skalarmultiplikation $\cdot$ wird mit $(V,+,\cdot)$ (oder oft nur $V$) bezeichnet.

Warnung: Der Begriff "Skalarmultiplikation" ist nicht zu verwechseln mit dem des "Skalarproduktes"!