DEFINITION


Sei \(\mathbb{K}\) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239] und \(n,m \in \mathbb{N}\).
Eine \(n\times m \) Matrix mit Einträgen in \(\mathbb{K}\) ist eine durch \(\{1,...,n\} \times \{1,...,m\} \) indizierte [could not resolve link target: il_9310_git_1446] in \(\mathbb{K}\):
\((a_{i,j})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m} \), alle \(a_{i,j} \in \mathbb{K}\).

Gehen \(n,m\) aus dem Kontext hervor, schreibt man häufig auch nur \((a_{i,j}) \).

Matrizen lassen sich übersichtlich in Form von Tabellen darstellen:
\( \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix} :=(a_{i,j})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq m} \)
\(n\) wird daher auch oft die Zeilen- und \(m\) die Spaltenzahl genannt.


Für die Menge aller \(n\times m\) Matrizen mit einträgen in \(\mathbb{K}\) finden sich mehrere Bezeichnungen:
\(\operatorname{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\), \(\operatorname{Mat}(n\times m, \mathbb{K})\), \(\mathbb{K}^{n\times m} =\operatorname{Abb}(\{1,...,n\}\times \{1,...,m\},\mathbb{K})\)

Als \(\operatorname{Abb}(\{1,...,n\}\times \{1,...,m\},\mathbb{K})\) trägt die Menge der \(n \times m\) Matrizen mit Einträgen in \(\mathbb{K}\) die natürliche \(\mathbb{K}\)- [could not resolve link target: il_9310_git_1264] komponentenweiser Addition und (skalar) Multiplikation:
\((a_{i,j})+(b_{i,j}) = (a_{i,j}+b_{i,j}) \)
\(\lambda \cdot (a_{i,j}) := (\lambda\cdot a_{i,j})\)

Die Dimension einer Matrix ist \(\dim_\mathbb{K}(\mathbb{K}^{n\times m}) = n\cdot m\).

DEFINITION


Matrizen in \(\mathbb{K}^{n \times n} \)heißen quadratisch.