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Adjunktion einer Eins (gewonnener 1-Ring durch)
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Sei \((R,+,\cdot)\) ein Ring. Die \((\hat{R},+,\cdot)\) ist ein 1-Ring mit Einselement \(1_{\hat{R}}=(1,0)\), der heißt
durch Adjunktion einer Eins aus \((R,+,\cdot)\) …
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Bild (von einem Ring)
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Seien \((R,+_R, \cdot_R)\), \((S,+_S,\cdot_S)\) zwei Ringe und \(\varphi \, : \, R \to S \)
ein Ringhomomorphismus. Das Bild von \(\varphi \) ist das (mengentheoretisch…
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Charakteristik unitärer Ringe
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Sei \((R,+,\cdot)\) ein unitärer Ring.
Die Charakteristik von \(R\) ist definiert durch
\(\operatorname{char} (R) :=\begin{cases}0, & \forall n \in \mathbb{N} : n\cdot 1 \neq 0 \cr\operatorname{min} \{ n\in \mathbb{N} \,\mid\, n\cdot 1 = 0\} & \text{sonst}\end{cases}\)<…
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Divisionsring
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Sei \((R,+,\cdot)\) ein Ring mit Eins.
\((R,+,\cdot)\) heißt Divisionsring oder Schiefkörper \(:\Leftrightarrow\)
(1) \(R^\times = R\setminus \{0\}\), …
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Ideale
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Sei \((R,+,\cdot)\) ein Ring und \(\mathbf{a} \subset R\) eine Untergruppe von \((R,+)\)
\(\mathbf{a} \subset R\) heißt Linksideal \(:\Leftrightarrow\)
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Inklusionsabbildung
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Sein \((R,+,\cdot)\) ein Ring und \(S \subset R\) ein Unterring. Dann ist die Inklusionsabbildung definiert als
\(\iota \, : \, S \to R\)
\(\qquad s \mapsto s\)
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Integritätsring
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Ein Ring \((R,+,\cdot)\) heißt Integritätsrings oder Integritätsbereich \(:\Leftrightarrow\)
(1) \(R\) ist kommutativ,
(2) \(R\) ist unitär (besitzt ein Einselement),…
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Invertierbares Element in einem Ring
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Sei \((R,+,\cdot)\) ein Ring mit Eins und \(s \in R\).
\(s\) heißt linksinvertierbar\(: \Leftrightarrow \exists \, l \in R \, : \, l \cdot s = 1 \).
Ein solches […
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Kern (eines Ringhomomorphismus)
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Seien \((R,+_R,\cdot_R)\), \((S,+_S,\cdot_S)\) zwei Ringe und \(\varphi \, : \, R \to S \)
ein Ringhomomorphismus. Der Kern von \(\varphi \) ist das (mengentheoretische)…
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Kommutativer Ring
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Ein Ring \((R,+,\cdot) \) heißt kommutativ \(:\Leftrightarrow\)
\(\cdot \, :\, R \times R \to R\) ist kommutativ, d.h.
\(\forall \, r,s \in R \, : \, r\cdot s = s \cdot r\).
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