DEFINITION


Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1244] . Definiere
\(R[t]:=\{p\,:\, \mathbb{N}_0 \to R \, | \, p(n) = 0 \text{ für alle bis auf endlich viele } k\in \mathbb{N}_0\}\)
Elemente in \(R[t]\) heißen Polynome mit Koeffizienten in \(R\) (in einer Unbestimmten).

Erkläre auf \(R[t]\) die folgenden beiden Verknüpfungen:

\(+\, : \, R[t] \times R[t] \to R[t]\) \(\qquad \, (p,q) \mapsto p+q\), mit \(\displaystyle (p+q)(n) := p(n) +_R q(n)\) für \(n \in \mathbb{N}_0\)

\(\cdot \, : \, R[t] \times R[t] \to R[t]\)
\(\qquad \, (p,q) \mapsto p \cdot q\), mit
\(\displaystyle (p\cdot q)(n) := \sum_{l+k = n \atop l, k \geq 0}(p(l)\cdot_R q(k))\) für \(n \in \mathbb{N}_0\)

Man überprüfe, dass \(p\cdot q \in R[t]\), also dass für nur endliche viele \(n\in \mathbb{N}_0 : \, (p\cdot q)(n) \neq 0\).

\((R[t],+,\cdot)\) heißt Polynomring über \(R\).

Definiere zusätzlich
\(\cdot_s \, : \, R \times R[t] \to R[t]\)
\(\qquad \, (r,p)\mapsto r \cdot_s p\), mit
\((r \cdot_s p)(n) = r\cdot_R p(n)\) für \(n \in \mathbb{N}_0\)

\((R[t],+,\cdot,\cdot_s)\) heißt Polynomalgebra über \(R\).