DEFINITION


Sei $\mathbb{K}$ ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239] , $n \in \mathbb{N}$
Eine Abbildung
$$\det \, : \mathbb{K}^{n\times n } \to \mathbb{K},\qquad A = (a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \mapsto \det (A)$$
heißt Determinante $: \Leftrightarrow$ $\det$ erfüllt die folgenden drei Eigenschaften:

(D1) $\det$ ist linear in jeder Zeile, das heißt. :
Gilt für ein $k\in \{1,...,n\}$ und alle $j \in \{1,...,n\}$ $a_{k,j} = a'_{k,j}+a''_{k,j}$, dann
$\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} +\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a''_{k,1} & \dots & a''_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Gilt für ein $k\in \{1,...,n\}$ und alle $j \in \{1,...,n\}$ $a_{k,j} = \lambda \cdot a'_{k,j}$, dann
$\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix}$


(D2) $\det$ ist alternierend, das heißt. :
Gibt es $k,k' \in \{1,...,n\}, \, k \neq k' \forall \, j\in \{1,...,n\} \, : \, a_{k,j} = a_{k',j}$ dann ist
$\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = 0$



(D3) $\det$ ist normiert, das heißt $\det (E) = 1$, wobei $E$ die $n\times n$ [could not resolve link target: il_9310_git_1687] ist.

DEFINITION


Die folgende Schreibweise findet man häufiger für ausgeschriebene [could not resolve link target: il_9310_git_1310] :
$\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} =: \begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}$