DEFINITION


Eine Gruppe ist eine Menge \( G \) zusammen mit einer Abbildung, genannt Gruppenverknüpfung, \(\circ\)
\(\circ \, : \, G \times G \to G \)
\(\qquad (a,b) \mapsto \circ(a,b) =: a \circ b\)
so dass die folgenden Regeln erfüllt sind:

(G1) \(\forall \, a,b,c \in G \, : \, a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c \) (Die Gruppenoperation ist assoziativ)
(G2) \(\exists \, e \in G \, \forall \, g \in G \, : \, g \circ e = g\) (Existenz eines rechts-neutralen Elements)
(G3) \(\forall \, g \in G \, \exists \, h \in G \, : \, g \circ h = e \) (Existenz eines rechts-inversen Elements)
Bemerkung: Zu einem gegeben Element \(g \in G \) wird das rechts-inverse Element häufig mit \(g^{-1}\) bezeichnet.

Hinweis: Zu einer Gruppe gehören zweierlei Daten: Die zugrundeliegende Menge sowie die Gruppenverknüpfung. Um auf eine Gruppe mit zugrundeliegender Menge \(G \) und Gruppenverknüpfung \(\circ \) zu verweisen wird daher oft \((G,\circ)\) geschrieben. Besteht keine Gefahr zur Verwechslung und geht aus dem Kontext hervor, welche Gruppenverknüpfung gemeint ist, so wird auch häufig nur \(G \) geschrieben, um auf \((G,\circ) \) zu verweisen.

DEFINITION


Eine Gruppe \((G,\circ) \) heißt kommutativ oder abelsch (nach Niels Abel) \(:\Leftrightarrow \)
(G4) \(\forall \, a,b \in G \, : \, a\circ b = b\circ a \)