|
Darstellung von Polynomen
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \((R[t],+,\cdot)\) der Polynomring über \(R\).
Jedes Polynom \(p \in R[t]\) ist (endliche) Summe von Monomen.
Is…
|
|
Fundamentalsatz der Algebra
|
Jedes nicht-konstante Polynom \(p \in \mathbb{C}[t]\) hat mindestens eine Nullstelle.
|
|
Grad eines Polynoms
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \(R[t]\) der Ring der Polynome über \(R\).
Definiere die Gradabbildung:
\(\operatorname{grad}\, : \, R[t] \to \mathbb{N}_0 \cup \{-\infty\}\)<…
|
|
Kanonische Einbettungsabbildung eines Polynomringes
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \((R[t],+,\cdot)\) sein Polynomring. Dann ist die Abbildung
\[
\iota \,: \, R \to R[t]
\qquad \qquad r \mapsto r = (r,0,...)
|
|
Monome
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \((R[t],+,\cdot)\) der Polynomring über \(R\).
Elemente in \(p \in R[t]\) mit
\(p(k) = \begin{cases}0, \quad & \text{sonst} \cr a_n, & k=n\end{cases}\)<…
|
|
Nullstelle eines Polynoms
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \((R[t], +,\cdot)\) der Polynomring über \(R\).
Sei \(p \in R[t]\), \(p\neq 0\) und \(r \in R\).…
|
|
Polynomabbildungen
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \((R[t],+,\cdot)\) der Polynomring über \(R\).
Weiter sei \((A,+_A,\cdot_A,\cdot_{sA})\) eine \(R\)-…
|
|
Polynomalgebra
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring und \(R[t]\) eine Polynome mit Koeffizienten in \(R\).
Definiere zusätzlich zur Polynomring Verknüpfungen die Verknüpfung:
|
|
Polynomdivision
|
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer 1-Ring und \((R[t],+,\cdot) \) der Polynomring über \(R\).
Seien \(p,q \in R[t], n:=\) \(\operatorname{grad}\) …
|
|
Polynome mit Koeffizienten in R
|
Definition 1
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein kommutativer Ring. Definiere
\(R[t]:=\{p\,:\, \mathbb{N}_0 \to R \, | \, p(n) = 0 \text{ für alle bis auf endlich viele } k\in \mathbb{N}_0\}\)
Definition 2
Sei \((R,+_R,\cdot_R)\) ein (beliebiger) Ring. Definiere
\(R[t]:=\{p\,:\, \mathbb{N}_0 \to R \, | \, p(n) = 0 \text{ für alle bis auf endlich viele } k\in \mathbb{N}_0\}\)
|
