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Ähnliche Matrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(A ,B \in \mathbb{K}^{n\times n}\). \(A\) und \(B\) heißten ähnlich \(:\Leftrightarrow\)
\(\exists \, T \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{K})\, : \, B = T \cdot A \cdot T^{-1}\)
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Äquivalente Matrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(A ,B \in \mathbb{K}^{n \times m}\). \(A\) und \(B\) heißten äquivalent \(:\Leftrightarrow\)
\(\exists \, S \in\) [t…
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Basiswechsel Matrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und seien \(B=\{v_1, \ldots, v_n\}\) und \(B'=\{v'_1, \ldots, v'_n\}\) zwei Basen von \(V\)…
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Basiswechselssatz
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, und seien \(V, W\) endlichdimensionale \(\mathbb{K}\)-Vektorräume, \(B, B'\) zwei Basen von \(V\) und \(C, C'\) zwei Basen von …
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Darstellung von linearen Abbildungen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(V,W\) zwei endlichdimensionale \(\mathbb{K}\)-Vektorräume, \(\dim_\mathbb{K}(V) = n, \, \dim_\mathbb{K}(W)=m\). Ferner sei \(B:=(b_i)_{1\leq i \leq n}\) e…
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Darstellung von Vektoren (bezüglich einer Basis)
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper und \(V\) ein endlichdimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum, \(\dim_\mathbb{K}(V) = n\). Ferner sei \(B:=(b_i)_{1\leq i \leq n}\) …
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Eigenschaften der Matrixmultiplikation
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(n,m,l,p \in \mathbb{N}\). Die Matrixmultiplikation hat folgenden Eigenschaften:
Assoziativität
Sei \(A \in \mathbb{K}^{n\times m}, B \in \mathbb{K}^{m\times l}, C \in \mathbb{K}^{l\times p} \). …
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Einheitsmatrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(n\in \mathbb{N}\) und \(\mathbb{K}^{n\times n}\) eine quadratische Matrix über \(\mathbb{K}\).
Definiere \(E_n (\mathbb{K}) := (a_{i,j})_{1 \leq i, j \leq n}\) d…
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Invertierbare Matrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(n\in \mathbb{N}\) und \(A \in \mathbb{K}^{n\times n}\).
Eine Matrix \(A\) ist invertierbar \(\Leftrightarrow\) …
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Komplementäre Matrizen
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Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(n \in \mathbb{N}\) und \(A= (a_{i,j} )_{1\leq i,j \leq n} \in \mathbb{K}^{n\times n}\)
Für \(k,l \in \{1,...,n\} \)definiere \(A^{k,l} = (a^{k,l}_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in \mathbb{K}^{n\times n}\) d…
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