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Abelsche Gruppe (kommutative Gruppe)
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Eine Gruppe \((G, \circ)\), die kommutativ ist, heißt Abelsche Gruppe. Das heißt, \( \forall a, b \in G\) gilt \(a \circ b = b \circ a\) (G4).
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Bild (von einer Gruppe)
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Seien \((G, \circ), (H, \star)\) zwei Gruppen und \(\varphi: G \to H\) ein Gruppenhomomorphismus. Das Bild von \(G\) unter \(\varphi\) (oder Bild von \(\varphi\)…
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Erzeuger
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Sei \((G, \circ)\) eine Gruppe. Das Element \(a \in G\) heißt Erzeuger von \(G\), falls es die Eigenschaft \( \forall g \in G \; \exists n \in \mathbb{N}_0 : g = an\) …
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Gruppe (Gruppenaxiome)
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Eine Gruppe: \((G, \circ)\) ist Menge \(G\) zusammen mit einer Abbildung \(\circ : G \times G \to G\), die assoziativ ist (G1), ein rechts-neutrales Element (G2) und ein rechts-in…
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Gruppenautomorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen.Ein (Gruppen)-endomorphismus \(\varphi :G \to H\) heißt Automorphismus genau dann, wenn \(\varphi\) bijektiv ist.
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Gruppenendomorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen. Ein (Gruppen-)homomorphismus \(\varphi : G \to H\) heißt Endomorphismus genau dann, wenn \((G, \circ) = (H, \star)\) …
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Gruppenepimorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen. Ein (Gruppen-)Homomorphismus \(\varphi: G \to H\) heißt Epimorphismus genau dann, wenn \(\varphi\) surjektiv ist.
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Gruppenhomomorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen. Eine Abbildung \(\varphi : G \to H\) heißt (Gruppen-)homomorphismus genau dann, wenn \(\forall a, b \in G\) …
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Gruppenisomorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen. Ein (Gruppen-)Homomorphismus \(\varphi: G \to H\) heißt Isomorphismus genau dann, wenn \(\varphi\) bijektiv ist.
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Gruppenmonomorphismus
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Seien \((G, \circ)\) und \((H, \star)\) zwei Gruppen. Ein (Gruppen-)Homomorphismus \(\varphi: G \to H\) heißt Monomorphismus genau dann, wenn \(\varphi\) injektiv ist.
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