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Determinanten von Matrizen
DEFINITION
Sei \(\mathbb{K}\) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239] , \(n \in \mathbb{N} \)
Eine Abbildung
\[\det \, : \mathbb{K}^{n\times n } \to \mathbb{K},\qquad A = (a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \mapsto \det (A)\]
heißt Determinante \(: \Leftrightarrow \) \(\det \) erfüllt die folgenden drei Eigenschaften:
(D1) \(\det \) ist linear in jeder Zeile, das heißt. :
Gilt für ein \( k\in \{1,...,n\}\) und alle \( j \in \{1,...,n\}\) \(a_{k,j} = a'_{k,j}+a''_{k,j} \), dann
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} +\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a''_{k,1} & \dots & a''_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} \)
Gilt für ein \( k\in \{1,...,n\}\) und alle \( j \in \{1,...,n\}\) \(a_{k,j} = \lambda \cdot a'_{k,j} \), dann
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} \)
(D2) \(\det \) ist alternierend, das heißt. :
Gibt es \(k,k' \in \{1,...,n\}, \, k \neq k' \forall \, j\in \{1,...,n\} \, : \, a_{k,j} = a_{k',j}\) dann ist
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = 0\)
(D3) \(\det \) ist normiert, das heißt \(\det (E) = 1\), wobei \(E\) die \(n\times n\) [could not resolve link target: il_9310_git_1687] ist.
Sei \(\mathbb{K}\) ein [could not resolve link target: il_9310_git_1239] , \(n \in \mathbb{N} \)
Eine Abbildung
\[\det \, : \mathbb{K}^{n\times n } \to \mathbb{K},\qquad A = (a_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \mapsto \det (A)\]
heißt Determinante \(: \Leftrightarrow \) \(\det \) erfüllt die folgenden drei Eigenschaften:
(D1) \(\det \) ist linear in jeder Zeile, das heißt. :
Gilt für ein \( k\in \{1,...,n\}\) und alle \( j \in \{1,...,n\}\) \(a_{k,j} = a'_{k,j}+a''_{k,j} \), dann
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} +\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a''_{k,1} & \dots & a''_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} \)
Gilt für ein \( k\in \{1,...,n\}\) und alle \( j \in \{1,...,n\}\) \(a_{k,j} = \lambda \cdot a'_{k,j} \), dann
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{k,1} & \dots & a_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = \lambda \cdot \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a'_{k,1} & \dots & a'_{k,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} \)
(D2) \(\det \) ist alternierend, das heißt. :
Gibt es \(k,k' \in \{1,...,n\}, \, k \neq k' \forall \, j\in \{1,...,n\} \, : \, a_{k,j} = a_{k',j}\) dann ist
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} = 0\)
(D3) \(\det \) ist normiert, das heißt \(\det (E) = 1\), wobei \(E\) die \(n\times n\) [could not resolve link target: il_9310_git_1687] ist.
DEFINITION
Die folgende Schreibweise findet man häufiger für ausgeschriebene [could not resolve link target: il_9310_git_1310] :
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} =: \begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}\)
Die folgende Schreibweise findet man häufiger für ausgeschriebene [could not resolve link target: il_9310_git_1310] :
\(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{pmatrix} =: \begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \cr \vdots & & \vdots \cr a_{n,1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}\)